Question

已知：如图，AO是的半径，AC为的弦，点F为的中点，OF交AC于点E，AC=8，EF=2．

（1）求AO的长；

（2）过点C作CD⊥AO，交AO延长线于点D，求sin∠ACD的值．

Answer

（1）5；（2）

【解析】

（1）由垂径定理得出AE=4，设圆的半径为r，知OE=OF-EF=r-2，根据OA2=AE2+OE2求解可得；

（2）由∠OAE=∠CAD，∠AEO=∠ADC=90°知∠AOE=∠ACD，从而根据sin∠ACD=sin∠AOE=可得答案．

（1）∵O是圆心，且点F为的中点，

∴OF⊥AC，

∵AC=8，

∴AE=4，

设圆的半径为r，即OA=OF=r，

则OE=OF-EF=r-2，

由OA2=AE2+OE2得r2=42+（r-2）2，

解得：r=5，即AO=5；

（2）如图：

∵∠OAE=∠CAD，∠AEO=∠ADC=90°，

∴∠AOE=∠ACD，

则sin∠ACD=sin∠AOE==．