Question

如图，△ABC中，D是BC上一点，E是AC上一点，点G在BE上，联结DG并延长交AE于点F，∠BGD=∠BAD=∠C．

（1）求证：；

（2）如果∠BAC=90°，求证：AG⊥BE．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）由△BDG∽△BEC，可得，即可推出结论；

（2）由△BAD∽△BCA，推出∠BDA=∠BAC=90°，由∠BAD=∠BGD，推出A，B，D，G四点共圆，推出∠AGB=∠ADB=90°.

（1）证明：∵∠DBG=∠CBE，

∠BGD=∠C，

∴△BDG∽△BEC，

∴，

∴BD•BC=BG•BE；

（2）∵∠ABD=∠CBA，∠BAD=∠C，

∴△BAD∽△BCA，

∴∠BDA=∠BAC=90°，

∵∠BAD=∠BGD，

∴A，B，D，G四点共圆，

∴∠AGB=∠ADB=90°，

∴AG⊥BE．