Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数（a、b都是常数，且a<0）的图像与x轴交于点、，顶点为点C.

（1）求这个二次函数的解析式及点C的坐标；

（2）过点B的直线交抛物线的对称轴于点D，联结BC，求∠CBD的余切值；

（3）点P为抛物线上一个动点，当∠PBA=∠CBD时，求点P的坐标.

Answer

（1），；（2）；（3）或

【解析】

（1）由点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式，再利用配发法即可求出顶点C的坐标；

（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点D的坐标，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，设抛物线对称轴与x轴的交点为点F，由点B，C，D，F的坐标可得出CD，DF，BF的长，利用勾股定理可得出BC的长，利用角的正切值不变可求出DE的长，进而可求出BE的长，再利用余切的定义即可求出∠CBD的余切值；

（3）设直线PB与y轴交于点M，由∠PBA=∠CBD及∠CBD的余切值可求出OM的长，进而可得出点M的坐标，由点B，M的坐标，利用待定系数法即可求出直线BP的解析式，联立直线BP及二次函数解析式成方程组，通过解方程组可求出点P的坐标．

（1）将A（-2，0），B（6，0）代入y=ax2+bx+6，得： ，

解得：，

∴二次函数的解析式为y=-x2+2x+6，

∵y=-x2+2x+6=-（x-2）2+8，

∴点C的坐标为（2，8）；、

（2）当x=2时，y=-x+3=2，

∴点D的坐标为（2，2），

过点D作DE⊥BC，垂足为点E，设抛物线对称轴与x轴的交点为点F，如图1所示．

∵抛物线的顶点坐标为（2，8），

∴点F的坐标为（2，0），

∵点B的坐标为（6，0），

∴CF=8，CD=6，DF=2，BF=4，BC==4，BD==2，

∴sin∠BCF==，即=，

∴DE=，

∴BE==，

∴cot∠CBD===；

（3）设直线PB与y轴交于点M，如图2所示．

∵∠PBA=∠CBD，

∴cot∠PBA=，即，

∴OM=，

∴点M的坐标为（0，）或（0，-），

设直线BP的解析式为y=mx+n（m≠0），

将B（6，0），M（0，）代入y=mx+n，得：，

解得：，

∴直线BP的解析式为y=-x+，

同理，当点M的坐标为（0，-）时，直线BP的解析式为y=-x+，

联立直线BP与抛物线的解析式成方程组，得：或，

解得：，或，，

∴点P的坐标为（-，）或（-，-）．