Question

如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD⊥BC，垂足为D，点P是边AB上的一个动点，过点P作PF∥AC交线段BD于点F，作PG⊥AB交AD于点E，交线段CD于点G，设BP=x.

（1）用含x的代数式表示线段DG的长；

（2）设△DEF的面积为 y，求y与x之间的函数关系式，并写出定义域；

（3）△PEF能否为直角三角形？如果能，求出BP的长；如果不能，请说明理由.

Answer

（1）；（2）（）；（3）能，或

【解析】

（1）根据等腰三角形的性质可得BD=3，通过证明△ABD∽△GBP，可得BG=BP=x，即可得DG的长度；

（2）根据相似三角形的性质可得FD=BD-BF=3-x，DE=x-，根据三角形面积公式可求y与x之间的函数关系式；

（3）分EF⊥PG，EF⊥PF两种情况讨论，根据相似三角形的性质可求BP的长．

（1）∵AB=AC=5，BC=6，AD⊥BC，

∴BD=CD=3，

在Rt△ABD中，AD==4，

∵∠B=∠B，∠ADB=∠BPG=90°，

∴△ABD∽△GBP，

∴，

∴BG=BP=x，

∴DG=BG-BD=x-3；

（2）∵PF∥AC，

∴△BFP∽△BCA，

∴，

即，

∴BF=x，

∴FD=BD-BF=3-x，

∵∠DGE+∠DEG=∠DGE+∠ABD，

∴∠ABD=∠DEG，∠ADG=∠ADB=90°，

∴△DEG∽△DBA，

∴，

∴，

∴DE=x-，

∴S△DEF=y=×DF×DE=×（3-x）×（x-）=-x2+x-（＜x＜）；

（3）若EF⊥PG时，

∵EF⊥PG，ED⊥FG，

∴∠FED+∠DEG=90°，∠FED+∠EFD=90°，

∴∠EFD=∠DEG，且∠EDF=∠EDG，

∴△EFD∽△GDE，

∴，

∴ED2=FD×DG，

∴（x-）2=（3-x）（x-3），

∴5×57x2-1138x+225×5=0，

∴x=（不合题意舍去），x=；

若EF⊥PF，

∴∠PFB+∠EFD=90°，且∠PFB=∠ACB，∠ACB+∠DAC=90°，

∴∠EFD=∠DAC，且∠EDF=∠ADC=90°，

∴△EDF∽△CDA，

∴，

∴，

∴x=，

综上所述：当BP为或时，△PEF为直角三角形．