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如图,在等边三角形ABC的外侧作直线AP,点C关于直线AP的对称点为点D,连接A...

如图,在等边三角形ABC的外侧作直线AP,点C关于直线AP的对称点为点D,连接ADBD,其中BD交直线AP于点E

1)依题意补全图形;

2)若∠PAC20°,求∠AEB的度数;

3)连结CE,写出AEBECE之间的数量关系,并证明你的结论.

 

(1)补图见解析;(2)60°;(3)CE +AE=BE. 【解析】 试题(1)根据题意补全图形即可;(2)根据轴对称的性质可得AC=AD,∠PAC=∠PAD=20°,根据等边三角形的性质可得AC=AB,∠BAC=60°,即可得AB=AD,在△ABD 中,根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得∠D的度数,再由三角形外角的性质即可求得∠AEB的度数;(3)CE +AE=BE,如图,在BE上取点M使ME=AE,连接AM,设∠EAC=∠DAE=x,类比(2)的方法求得∠AEB=60°,从而得到△AME为等边三角形,根据等边三角形的性质和SAS即可判定△AEC≌△AMB,根据全等三角形的性质可得CE=BM,由此即可证得CE +AE=BE. 试题解析: (1)如图: (2)在等边△ABC中, AC=AB,∠BAC=60° 由对称可知:AC=AD,∠PAC=∠PAD, ∴AB=AD ∴∠ABD=∠D ∵∠PAC=20° ∴∠PAD=20° ∴∠BAD=∠BAC+∠PAC +∠PAD =100° . ∴∠AEB=∠D+∠PAD=60° (3)CE +AE=BE. 在BE上取点M使ME=AE,连接AM, 在等边△ABC中, AC=AB,∠BAC=60° 由对称可知:AC=AD,∠EAC=∠EAD, 设∠EAC=∠DAE=x. ∵AD =AC=AB, ∴ ∴∠AEB=60-x+x =60°. ∴△AME为等边三角形. ∴AM=AE,∠MAE=60°, ∴∠BAC=∠MAE=60°, 即可得∠BAM=∠CAE. 在△AMB和△AEC中, , ∴△AMB≌△AEC. ∴CE=BM. ∴CE +AE=BE.
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