Question

如图，正五边形ABCDE的边长为2，连结AC，AD，BE，BE分别与AC和AD相交于点F，G，连结DF，给出下列结论：①∠FDG＝18°；②FG＝3－；③(S_{四边形CDEF})²＝9＋2；④DF²－DG²＝7－2.其中结论正确的个数是(　  　)

A. 1    B. 2    C. 3    D. 4

Answer

B

【解析】

①先根据正五方形ABCDE的性质得：∠ABC=180°-=108°，由等边对等角可得：∠BAC=∠ACB=36°，再利用角相等求BC=CF=CD，得∠CDF=∠CFD==54°，可得∠FDG=18°；

②证明△ABF∽△ACB，得=，代入可得FG的长；

③如图1，先证明四边形CDEF是平行四边形，根据平行四边形的面积公式可得：（S四边形CDEF）2=EF2•DM2=4×=10+2；

④如图2，▱CDEF是菱形，先计算EC=BE=4-FG=1+，由S四边形CDEF=FD•EC=2×，可得FD2=10-2，计算可得结论．

【解析】
①∵五方形ABCDE是正五边形，

∴AB=BC，∠ABC=180°-=108°，

∴∠BAC=∠ACB=36°，

∴∠ACD=108°-36°=72°，

同理得：∠ADE=36°，

∵∠BAE=108°，AB=AE，

∴∠ABE=36°，

∴∠CBF=108°-36°=72°，

∴BC=FC，

∵BC=CD，

∴CD=CF，

∴∠CDF=∠CFD==54°，

∴∠FDG=∠CDE-∠CDF-∠ADE=108°-54°-36°=18°；

所以①正确；

②∵∠ABE=∠ACB=36°，∠BAC=∠BAF，

∴△ABF∽△ACB，

∴=，

∵BC=ED，BF=EG，

∴=，

∴AB•ED=AC•EG，

∵AB=ED=2，AC=BE=BG+EF-FG=2AB-FG=4-FG，EG=BG-FG=2-FG，

∴22=（2-FG）（4-FG），

∴FG=3+＞2（舍），FG=3-；

所以②正确；

③如图1，∵∠EBC=72°，∠BCD=108°，

∴∠EBC+∠BCD=180°，

∴EF∥CD，

∵EF=CD=2，

∴四边形CDEF是平行四边形，

过D作DM⊥EG于M，

∵DG=DE，

∴EM=MG=EG=（EF-FG）=（2-3+）=，

由勾股定理得：DM===，

∴（S四边形CDEF）2=EF2•DM2=4×=10+2；

所以③不正确；

④如图2，连接EC，

∵EF=ED，

∴▱CDEF是菱形，

∴FD⊥EC，

∵EC=BE=4-FG=4-（3-）=1+，

∴S四边形CDEF=FD•EC=2×，

×FD×（1+）=，

FD2=10-2，

∴DF2-DG2=10-2-4=6-2，

所以④不正确；

本题正确的有两个，

故选：B．