Question

乐乐和数学小组的同学们研究多边形对角线的相关问题，邀请你也加入其中！请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题：

多边形的顶点数	4	5	6	7	8	…	n
从一个顶点出发 的对角线的条数	1	2	3	4	5	…	________
多边形对角线 的总条数	2	5	9	14	20	…	________

(1)观察探究：请自己观察上面的图形和表格，并用含n的代数式将上面的表格填写完整；

(2)实际应用：数学社团共分为6个小组，每组有3名同学．同学们约定，大年初一时不同组的两位同学之间要打一个电话拜年，请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？

(3)类比归纳：乐乐认为(1)，(2)之间存在某种联系，你能找到这两个问题之间的联系吗？请用语言描述你的发现．

Answer

(1)n－3，n(n－3)；(2) 135个；(3) 每个同学相当于多边形的一个顶点，则共有n个顶点.

【解析】

（1）依据图形以及表格中的变换规律，即可得到结论；

（2）依据数学社团有18名同学，即可得到数学社团的同学们一共将拨打电话数量；

（3）每个同学相当于多边形的一个顶点，则共有n个顶点，进而得到每人要给不同组的同学打一个电话，则每人要打（n-3）个电话，据此进行判断．

【解析】
（1）由题可得，当多边形的顶点数为n时，从一个顶点出发的对角线的条数为n-3，多边形对角线的总条数为n（n-3）；

故答案为：n-3，n（n-3）；

（2）∵3×6=18，

∴数学社团的同学们一共将拨打电话为×18×（18-3）=135（个）；

(3)每个同学相当于多边形的一个顶点，则共有n个顶点；

每人要给不同组的同学打一个电话，则每人要打(n－3)个电话；

两人之间不需要重复拨打电话，故拨打电话的总数为n(n－3)；

数学社团有18名同学，当n＝18时，×18×(18－3)＝135.