Question

如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CE＝2DE，将△ADE沿AE对折得到△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．

（1）求证：△ABG≌△AFG；

（2）判断BG与CG的数量关系，并证明你的结论；

（3）作FH⊥CG于点H，求GH的长．

Answer

（1）见解析；（2）BG＝CG；（3）GH＝．

【解析】

（1）先计算出DE＝2，EC＝4，再根据折叠的性质AF＝AD＝6，EF＝ED＝2，∠AFE＝∠D＝90°，∠FAE＝∠DAE，然后根据“HL”可证明Rt△ABG≌Rt△AFG；

（2）由全等性质得GB＝GF、∠BAG＝∠FAG，从而知∠GAE＝∠BAD＝45°、GE＝GF+EF＝BG+DE；设BG＝x，则GF＝x，CG＝BC﹣BG＝6﹣x，在Rt△CGE中，根据勾股定理得（6﹣x）2+42＝（x+2）2，解之可得BG＝CG＝3；

（3）由（2）中结果得出GF＝3、GE＝5，证△FHG∽△ECG得＝，代入计算可得．

（1）∵正方形ABCD的边长为6，CE＝2DE，

∴DE＝2，EC＝4，

∵把△ADE沿AE折叠使△ADE落在△AFE的位置，

∴AF＝AD＝6，EF＝ED＝2，∠AFE＝∠D＝90°，∠FAE＝∠DAE，

在Rt△ABG和Rt△AFG中

∵ ，

∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）；

（2）∵Rt△ABG≌Rt△AFG，

∴GB＝GF，∠BAG＝∠FAG，

∴∠GAE＝∠FAE+∠FAG＝∠BAD＝45°，

设BG＝x，则GF＝x，CG＝BC﹣BG＝6﹣x，

在Rt△CGE中，GE＝x+2，EC＝4，CG＝6﹣x，

∵CG2+CE2＝GE2，

∴（6﹣x）2+42＝（x+2）2，解得x＝3，

∴BG＝3，CG＝6﹣3＝3

∴BG＝CG；

（3）由（2）知BG＝FG＝CG＝3，

∵CE＝4，

∴GE＝5，

∵FH⊥CG，

∴∠FHG＝∠ECG＝90°，

∴FH∥EC，

∴△FHG∽△ECG，

则＝，即＝，

解得GH＝．