Question

如图所示，已知直线L过点A（0，1）和B（1，0），P是x轴正半轴上的动点，OP的垂直平分线交L于点Q，交x轴于点M．

（1）直接写出直线L的解析式；

（2）设OP＝t，△OPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式；并求出当0＜t＜2时，S的最大值；

（3）直线L₁过点A且与x轴平行，问在L₁上是否存在点C，使得△CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点C的坐标，并证明；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）y＝1﹣x；（2），S有最大值；（3）存在点C（1，1）．

【解析】

（1）已知直线L过A，B两点，可将两点的坐标代入直线的解析式中，用待定系数法求出直线L的解析式；

（2）求三角形OPQ的面积，就需知道底边OP和高QM的长，已知了OP为t，关键是求出QM的长．已知了QM垂直平分OP，那么OM＝t，然后要分情况讨论：①当OM＜OB时，即0＜t＜2时，BM＝OB﹣OM，然后在等腰直角三角形BQM中，即可得出QM＝BM，由此可根据三角形的面积公式得出S与t的函数关系式；②当OM＞OB时，即当t≥2时，BM＝OM﹣OB，然后根据①的方法即可得出S与t的函数关系式，然后可根据0＜t＜2时的函数的性质求出S的最大值；

（3）如果存在这样的点C，那么CQ＝QP＝OQ，因此C，O就关于直线BL对称，因此C的坐标应该是（1，1）．那么只需证明CQ⊥PQ即可．分三种情况进行讨论：①当Q在线段AB上（Q，B不重合），且P在线段OB上时．要证∠CQP＝90°，那么在四边形CQPB中，就需先证出∠QCB与∠QPB互补，由于∠QPB与∠QPO互补，而∠QPO＝∠QOP，因此只需证∠QCB＝∠QOB即可，根据折叠的性质，这两个角相等，由此可得证；②当Q在线段AB上，P在OB的延长线上时，根据①已得出∠QPB＝∠QCB，那么这两个角都加上一个相等的对顶角后即可得出∠CQP＝∠CBP＝90度；③当Q与B重合时，很显然，三角形CQP应该是个等腰直角三角形．综上所述即可得出符合条件C点的坐标．

（1）y＝1﹣x；

（2）∵OP＝t，

∴Q点的横坐标为t，

①当，即0＜t＜2时，QM=1-t，

∴S△OPQ＝t（1﹣t），

②当t≥2时，QM＝|1﹣t|＝t﹣1，

∴S△OPQ＝t（t﹣1），

∴

当0＜t＜1，即0＜t＜2时，S＝t（1﹣t）＝﹣（t﹣1）2+，

∴当t＝1时，S有最大值；

（3）由OA＝OB＝1，故△OAB是等腰直角三角形，

若在L1上存在点C，使得△CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形，

则PQ＝QC，

所以OQ＝QC，又L1∥x轴，则C，O两点关于直线L对称，

所以AC＝OA＝1，得C（1，1）．下面证∠PQC＝90度．连CB，则四边形OACB是正方形．

①当点P在线段OB上，Q在线段AB上（Q与B、C不重合）时，如图﹣1，

由对称性，得∠BCQ＝∠QOP，∠QPO＝∠QOP，

∴∠QPB+∠QCB＝∠QPB+∠QPO＝180°，

∴∠PQC＝360°﹣（∠QPB+∠QCB+∠PBC）＝90度；

②当点P在线段OB的延长线上，Q在线段AB上时，如图﹣2，如图﹣3

∵∠QPB＝∠QCB，∠1＝∠2，

∴∠PQC＝∠PBC＝90度；

③当点Q与点B重合时，显然∠PQC＝90度，

综合①②③，∠PQC＝90度，

∴在L1上存在点C（1，1），使得△CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形．