Question

如图，抛物线y＝ax²+bx+c与x轴交于点A(﹣1，0)，顶点坐标(1，n)，与y轴的交点在(0，2)，(0，3)之间(包含端点)，则下列结论：①3a+b＜0；②﹣1≤a≤﹣；③对于任意实数m，a+b≥am²+bm总成立；④关于x的方程ax²+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为(　　)

A. 1个    B. 2个    C. 3个    D. 4个

Answer

D

【解析】

利用抛物线的开口方向可得a<0，再由抛物线的对称轴可得b=-2a，由此可对①进行判断；利用2≤c≤3结合已知条件可对②进行判断；利用二次函数的性质可对③进行判断；根据抛物线y＝ax2+bx+c直线y=n-1的交点个数可对④进行判断.

∵抛物线开口向下，

∴a<0，

∵抛物线的对称轴为直线x==1，

∴b=-2a，

∴3a+b=3a-2a=a<0，故①正确；

∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A(﹣1，0)，

∴a-b+c=0，∴c=-3a，

∵2≤c≤3，

∴2≤-3a≤3，

∴﹣1≤a≤﹣，故②正确；

∵抛物线的顶点坐标为（1，n），

∴x=1时，二次函数有最大值为n，

∴对于任意实数m ，总有a+b+c≥am2+bm+c，

即a+b≥am2+bm，故③正确；

∵抛物线的顶点坐标为（1，n），

∴抛物线y＝ax2+bx+c直线y=n-1有两个交点，

∴关于x的方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根，故④正确，

故选D.