Question

如图，AC是⊙O的直径，点D是⊙O 上一点，⊙O的切线CB与AD的延长线交于点B，点F是直径AC上一点，连接DF并延长交⊙O于点E，连接AE．

（1）求证：∠ABC=∠AED；

（2）连接BF，若AD=，AF=6，tan∠AED=，求BF的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）2.

【解析】

（1）直接利用圆周角定理以及切线的性质定理得出∠ACD=∠ABC，进而得出答案；

（2）首先得出DC的长，即可得出FC的长，再利用已知得出BC的长，结合勾股定理求出答案．

（1）证明：连接DC，

∵AC是⊙O的直径，

∴∠BDC=90°，

∴∠ABC+∠BCD=90°，

∵⊙O的切线CB与AD的延长线交于点B，

∴∠BCA=90°，

∴∠ACD+∠BCD=90°，

∴∠ACD=∠ABC，

∴∠ABC=∠AED；

（2）【解析】
连接BF，

∵在Rt△ADC中，AD=，tan∠AED=，

∴tan∠ACD==，

∴DC=AD=，

∴AC==8，

∵AF=6，

∴CF=AC﹣AF=8﹣6=2，

∵∠ABC=∠AED，

∴tan∠ABC==，

∴ =，

解得：BD=，

故BC=6，

则BF==2．