Question

如图，已知∠MON＝120°，点A，B分別在OM，ON上，且OA＝OB＝a，将射线OM绕点O逆时针旋转得到OM′，旋转角为α（0°＜α＜120°，且α≠60°），作点A关于直线OM′的对称点C，画直线BC交OM′于点D，连接AC，AD．

（1）求证：AD＝CD；

（2）如图1，当0°＜α＜60°时，试证明∠ACD的大小是一个定值；

（3）当60°＜α＜120°时，（2）中的结论还成立吗？请补全图形并说明理由；

（4）△ACD面积的最大值为　   　．（直接写出结果）

Answer

（1）详见解析；（2）详见解析；（3）结论不变；（4）a2．

【解析】

（1）证明△ODC≌△ODA（SSS）即可解决问题；

（2）如图1中，由题意OB＝OA＝OC，以O为圆心OC为半径作⊙O，在⊙O上OA的下方取一点H，连接HB，HA．理由圆周角定理，圆内接四边形的性质即可解决问题；

（3）结论不变．如图2中，由题意OB＝OA＝OC，以O为圆心OC为半径作⊙O，理由圆周角定理即可解决问题；

（4）证明△ACD是等边三角形，可知当AC为⊙O的直径时，△ACD的面积最大．

（1）如图1中，连接OC，

∵点A与点C关于直线OD对称，

∴OC＝OA，DC＝DA，

∵OD＝OD，

∴△ODC≌△ODA（SSS），

∴DC＝DA；

（2）如图1中，由题意OB＝OA＝OC，以O为圆心OC为半径作⊙O，在⊙O上OA的下方取一点H，连接HB，HA．

∵∠H＝∠AOB＝60°，∠H+∠BCA＝180°，

∴∠BCH＝120°，

∴∠ACD＝60°，

∴∠ACD是定值；

（3）结论不变．

理由：如图2中，由题意OB＝OA＝OC，以O为圆心OC为半径作⊙O，

∵∠AOB＝120°，∠ACB＝∠AOB，

∴∠ACB＝60°，

故结论成立；

（4）由（1）（2）可知：DC＝DA，∠ACD＝60°，

∴△ACD是等边三角形，

∴当AC为⊙O的直径时，△ACD的面积最大，

∴S△ADC＝×（2a）2＝a2．