Question

如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．

（1）当∠BDA＝110°时，∠EDC＝　   　°，∠DEC＝　   　°；点D从B向C的运动过程中，∠BDA逐渐变　   　（填“大”或“小”）；

（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由．

（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数，若不可以，请说明理由．

Answer

（1）30，110，小；（2）当DC＝2时，△ABD≌△DCE，理由详见解析；（3）当∠BDA＝80°或110°时，△ADE的形状可以是等腰三角形.

【解析】

（1）利用邻补角的性质和三角形的外角等于不相邻的两内角和这一性质解题，

（2）当DC=2时，利用∠ADC＝∠B+∠BAD，∠ADC＝∠ADE+∠CDE求出

∠BAD＝∠CDE，再利用AB＝CD＝2，∠B＝∠C＝40°得出△ABD≌△DCE.

（3）假设△ADE是等腰三角形，分两种情况，分别讨论求得符合题意的解.

【解析】
（1）∵∠ADB+∠ADE+∠EDC＝180°，且∠ADE＝40°，∠BDA＝110°，

∴∠EDC＝30°，

∵∠AED＝∠EDC+∠ACB＝30°+40°＝70°

∴∠EDC＝180°﹣∠AED＝110°，

故答案为：30，110，

∵∠BDA+∠B+∠BAD＝180°，

∴∠BDA＝140°﹣∠BAD

∵点D从B向C的运动过程中，∠BAD逐渐变大

∴∠BDA逐渐变小，

故答案为：小

（2）当DC＝2时，△ABD≌△DCE，

理由如下：∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠ADC＝∠ADE+∠CDE，∠B＝∠ADE＝40°，

∴∠BAD＝∠CDE，且AB＝CD＝2，∠B＝∠C＝40°，

∴△ABD≌△DCE（ASA）

（3）若AD＝DE时，

∵AD＝DE，∠ADE＝40°

∴∠DEA＝∠DAE＝70°

∵∠DEA＝∠C+∠EDC

∴∠EDC＝30°

∴∠BDA＝180°﹣∠ADE﹣∠EDC＝180°﹣40°﹣30°＝110°

若AE＝DE时，

∵AE＝DE，∠ADE＝40°

∴∠ADE＝∠DAE＝40°，

∴∠AED＝100°

∵∠DEA＝∠C+∠EDC

∴∠EDC＝60°

∴∠BDA＝180°﹣∠ADE﹣∠EDC＝180°﹣40°﹣60°＝80°

综上所述：当∠BDA＝80°或110°时，△ADE的形状可以是等腰三角形.