Question

我们规定：横、纵坐标相等的点叫做“完美点”.

(1)若点A(x，y)是“完美点”，且满足x+y=4，求点A的坐标；

(2)如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A坐标为(0，4)，连接OB，E点从O向B运动，速度为2个单位/秒，到B点时运动停止，设运动时间为t.

①不管t为何值，E点总是“完美点”；

②如图2，连接AE，过E点作PQ⊥x轴分别交AB、OC于P、Q两点，过点E作EF⊥AE交x轴于点F，问：当E点运动时，四边形AFQP的面积是否发生变化？若不改变，求出面积的值；若改变，请说明理由.

Answer

(1)A(2，2)；(2)①证明见解析；②当E点运动时，四边形AFQP的面积不变，面积为8.

【解析】

（1）根据“完美点”定义可求点A坐标；（2）①由题意可求直线OB的解析式y=x，点E在直线OB上移动，则可证结论；②根据题意可证△EFQ≌△APE，可求PE=FQ，则可求四边形AFQP的面积．

解(1)∵点A(x，y)是“完美点”

∴x=y

∵x+y=4

∴x=2，y=2

∴A点坐标(2，2)

(2)①∵四边形OABC是正方形，点A坐标为(0，4)，

∴AO=AB=BC=4∴B(4，4)

设直线OB解析式y=kx过B点

∴4=4k，k=1

∴直线OB解析式y=x

设点E坐标(x，y)

∵点E在直线OB上移动

∴x=y

∴不管t为何值，E点总是“完美点”.

②∵E点总是“完美点”.

∴EQ=OQ

∵∠BAO=∠AOC=90°，PQ⊥x轴

∴四边形AOQP是矩形

∴AP=OQ，AO=PQ=4

∴AP=EQ

∵AE⊥EF

∴∠AEP+∠FEQ=90°，∠EAP+∠AEP=90°

∴∠FEQ=∠EAP

∵AP=EQ，∠FEQ=∠EAP，∠APE=∠EQF=90°

∴△APE≌△EFQ

∴PE=FQ

∵S四边形AFQP= =2(PE+EQ)=2×PQ=8

∴当E点运动时，四边形AFQP的面积不变，面积为8.