Question

如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB=OB，点E、点F分别是OA、OD的中点，连接EF，∠CEF=45°，EM⊥BC于点M，EM交BD于点N，FN=，则线段BC的长为_____．

Answer

【解析】设EF=x，根据三角形的中位线定理表示AD=2x，AD∥EF，可得∠CAD=∠CEF=45°，证明△EMC是等腰直角三角形，则∠CEM=45°，证明△ENF≌△MNB，则EN=MN=x，BN=FN=，最后利用勾股定理计算x的值，可得BC的长．

设EF=x，

∵点E、点F分别是OA、OD的中点，

∴EF是△OAD的中位线，

∴AD=2x，AD∥EF，

∴∠CAD=∠CEF=45°，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD=BC=2x，

∴∠ACB=∠CAD=45°，

∵EM⊥BC，

∴∠EMC=90°，

∴△EMC是等腰直角三角形，

∴∠CEM=45°，

连接BE，

∵AB=OB，AE=OE

∴BE⊥AO

∴∠BEM=45°，

∴BM=EM=MC=x，

∴BM=FE，

易得△ENF≌△MNB，

∴EN=MN=x，BN=FN=，

Rt△BNM中，由勾股定理得：BN2=BM2+MN2，

∴()2＝x2+(x)2，

x=2或-2（舍），

∴BC=2x=4．

故答案为：4．