Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是

①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S_△DAC：S_△ABC=1：3．

A．1      B．2       C．3      D．4

Answer

D。

【解析】①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线。故①正确。

②如图，∵在△ABC中，∠C=900，∠B=300，∴∠CAB=600。

又∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2=∠CAB=300，

∴∠3=900﹣∠2=600，即∠ADC=600。故②正确。

③∵∠1=∠B=300，∴AD=BD。∴点D在AB的中垂线上。故③正确。

④∵如图，在直角△ACD中，∠2=300，∴CD=AD。

∴BC=CD+BD=AD+AD=AD，S△DAC=AC•CD=AC•AD。

∴S△ABC=AC•BC=AC•AD=AC•AD。

∴S△DAC：S△ABC。故④正确。

综上所述，正确的结论是：①②③④，，共有4个。故选D。