Question

如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC 边上运动，且保持AD=CE；连接DE，DF，EF；在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②DE长度的最小值为4；③四边形CDFE的面积保持不变；④△CDE面积的最大值为8；其中正确的结论是（　　）

A. ①②③    B. ①②④    C. ①③④    D. ①③

Answer

C

【解析】

连结CF，如图，根据等腰直角△ABC的性质得CF=AF=BF，CF⊥AB，∠1=45°，则可根据“SAS”判断△ADF≌△CEF，得到DF=EF，∠3=∠2，由∠3+∠CFD=90°可得∠CFD+∠2=90°，即∠DFE=90°，所以△DEF为等腰直角三角形，于是可对①进行判断；利用△DEF为等腰直角三角形得到DE=FD，利用垂线段最短，当FD⊥AC时，FD的长度最小，此时FD=AC=4，所以DE长度的最小值为4，则可对②进行判断；利用S△ADF=S△CEF可得四边形CDFE的面积=S△ACF=S△ABC=16，于是可对③进行判断；由于S△CDE=S四边形CDFE-S△DEF=16-S△DEF，FD的长度的最小值为4，则S△DEF的最小值值为8，所以△CDE面积的最大值为8，则可对④进行判断．

连结CF，如图，

∵△ABC为直角三角形，
∴∠A=45°，
∵F是等腰直角△ABC斜边上的中点，
∴CF=AF=BF，CF⊥AB，∠1=45°，
在△ADF和△CEF中，，
∴△ADF≌△CEF（SAS），
∴DF=EF，∠3=∠2，
∵∠3+∠CFD=90°，
∴∠2+∠CFD=90°，即∠DFE=90°，
∴△DEF为等腰直角三角形，所以①正确；

∵△DEF为等腰直角三角形，
∴DE=FD，
当FD⊥AC时，FD的长度最小，此时FD=AC=4，
∴DE长度的最小值为4，所以②错误；
∵△ADF≌△CEF，
∴S△ADF=S△CEF，
∴四边形CDFE的面积=S△ACF=S△ABC=××8×8=16，所以③正确；
∵S△CDE=S四边形CDFE-S△DEF=16-S△DEF，
而当FD⊥AC时，FD的长度最小，此时FD=AC=4，
∴S△DEF的最小值为×4×4=8，
∴△CDE面积的最大值为16-8=8，所以④正确．
故答案为①③④．