Question

如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90º，AD//BC，AB=BC，E是线段AB的中点，CE⊥BD，连接AC，DE；

（1）求证：AD=BE；

（2）求证：AC是线段DE的垂直平分线；

（3）△DBC是等腰三角形吗？请说明理由；

Answer

(1)证明见解析(2)证明见解析(3)△DBC是等腰三角形

【解析】

试题（1）利用已知条件证明△BAD≌△CBE(ASA)，根据全等三角形的对应边相等即可得到结论；

（2）证明AD=AE，根据线段垂直平分线的逆定理即可解答；

（3）由△DAB≌△EBC，得到DB=EC，又由△AEC≌△ADC，得到EC=DC，所以DB=DC，即可解答．

试题解析：【解析】
(1)∵∠ABC＝90°，BD⊥EC，∴∠1＋∠3＝90°，∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠2．又∵∠ABC＝∠DAB＝90°， AB＝BC，∴△BAD≌△CBE(ASA)，∴BE＝AD；

(2) ∵E是AB的中点，∴EB＝EA．由(1)得AD＝BE，∴AE＝AD．又∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB＝45°．∵∠BAC＝45°，∴∠DAC＝∠CAB，∴EM＝MD， AM⊥DE，即AC是线段ED的垂直平分线．

(3) △DBC是等腰三角形．

理由：由(2)得CD＝CE，由(1)得CE＝BD，∴CD＝BD，∴△DBC是等腰三角形．