Question

如图，在△ABC中，∠A=90º，∠B=30º，AC=6厘米，点D从点A开始以1厘米/秒的速度向点C运动，点E从点C开始以2厘米/秒的速度向点B运动，两点同时运动，同时停止，运动时间为t秒；过点E作EF//AC交AB于点F；

（1）当t为何值时，△DEC为等边三角形？

（2）当t为何值时，△DEC为直角三角形？

（3）求证：DC=EF；

Answer

（1）当t为2时，△DEC为等边三角形；（2）当t为1.2或3时，△DEC为直角三角形；（3）见解析

【解析】

(1)根据等边三角形的性质得到EC=DC，列方程得到t=2；

(2)根据直角三角形的性质得到CE=DC，列方程得到t=1.2，根据直角三角形的性质还可得到CE＝DC，列方程得到t=3；

(3)根据直角三角形的性质得到BC=12cm，于是得到DC=(6-t)cm，BE=(12-2t)cm，根据平行线的性质得到∠A=∠BFE=90°，由直角三角形的性质得到EF=BE=(12-2t)=(6-t)cm，即可得到结论；

解：由题意得AD＝t cm，CE＝2t cm.

(1)若△DEC为等边三角形，则EC＝DC，

∴2t＝6－t，解得t＝2，

∴当t为2时，△DEC为等边三角形．

(2)若△DEC为直角三角形，当∠CED＝90°时，

∵∠B＝30°，∴∠ACB＝60°，∴∠CDE＝30°，

∴CE＝DC，∴2t＝(6－t)，解得t＝1.2；

当∠CDE＝90°时，同理可得∠CED＝30°，

∴CE＝DC，

∴×2t＝6－t，∴t＝3，

∴当t为1.2或3时，△DEC为直角三角形．

(3)证明：∵∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝6 cm，

∴BC＝12 cm，

∴DC＝(6－t)cm，BE＝(12－2t)cm.

∵EF∥AC，

∴∠BFE＝∠A＝90°.

∵∠B＝30°，

∴EF＝BE＝(12－2t)＝(6－t)cm，

∴DC＝EF.

故答案为：(1)2；(2)1.2或3；(3)证明见解析