Question

已知直线CD⊥AB于点O，∠EOF＝90°，射线OP平分∠COF．

（1）如图1，∠EOF在直线CD的右侧：

①若∠COE＝30°，求∠BOF和∠POE的度数；

②请判断∠POE与∠BOP之间存在怎样的数量关系？并说明理由．

（2）如图2，∠EOF在直线CD的左侧，且点E在点F的下方：

①请直接写出∠POE与∠BOP之间的数量关系；

②请直接写出∠POE与∠DOP之间的数量关系．

Answer

（1）①∠BOF= 30°，∠POE=30°，②∠POE＝∠BOP（2）①∠POE＝∠BOP②∠POE+∠DOP＝270°

【解析】

（1）①根据余角的性质得到∠BOF＝∠COE＝30°，求得∠COF＝90°+30°＝120°，根据角平分线的定义即可得到结论；

②根据垂线的性质和角平分线的定义即可得到结论；

（2）①根据角平分线的定义得到∠COP＝∠POF，求得∠POE＝90°+∠POF，∠BOP＝90°+∠COP，于是得到∠POE＝∠BOP；

②根据周角的定义即可得到结论．

（1）①∵CD⊥AB，

∴∠COB＝90°，

∵∠EOF＝90°，

∴∠COE+∠BOE＝∠BOE+∠BOF＝90°，

∴∠BOF＝∠COE＝30°，

∴∠COF＝90°+30°＝120°，

∵OP平分∠COF，

∴∠COP＝∠COF＝60°，

∴∠POE＝∠COP﹣∠COE＝30°；

②CD⊥AB，

∴∠COB＝90°，

∵∠EOF＝90°，

∴∠COE+∠BOE＝∠BOE+∠BOF＝90°，

∴∠BOF＝∠COE，

∵OP平分∠COF，

∴∠COP＝∠POF，

∴∠POE＝∠COP﹣∠COE，∠BOP＝∠POF﹣∠BOF，

∴∠POE＝∠BOP；

（2）①∵∠EOF＝∠BOC＝90°，

∵PO平分∠COF，

∴∠COP＝∠POF，

∴∠POE＝90°+∠POF，∠BOP＝90°+∠COP，

∴∠POE＝∠BOP；

②∵∠POE＝∠BOP，∠DOP+∠BOP＝270°，

∴∠POE+∠DOP＝270°．