Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+5与y轴交于点A，与x轴交于点B．抛物线y＝﹣x²+bx+c过A、B两点．

（1）写出点A，B的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一动点（点P在AC上方），作PD平行于y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积．

Answer

（1）点A、B的坐标分别为（0，5）、（5，0）；（2）y＝﹣x2+4x+5；（3）当x＝时，其最大值为．此时点P的坐标（，）．

【解析】

（1）y=-x+5，令y=0，则x=5，令x=0，则y=5，即可求解；

（2）将点A、B的坐标代入二次函数表达式，即可求解；

（3）先求出抛物线的对称轴，然后利用对称性求出点C的坐标，设出P点的坐标，利用S四边形APCD=×AC×PD列出函数表达式，根据二次函数的性质即可求解．

【解析】
（1）y＝﹣x+5，令y＝0，则x＝5，

令x＝0，则y＝5，

即点A、B的坐标分别为（0，5）、（5，0），

（2）将点A、B的坐标代入二次函数表达式得：，

解得：，

即抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x+5；

（3）抛物线的对称轴为x＝＝2，则点C的坐标为（4，5），

设点P的坐标为（x，﹣x2+4x+5），则点D坐标为（x，﹣x+5）

∵AC⊥PD，

∴S四边形APCD＝×AC×PD＝2（﹣x2+4x+5+x﹣5）＝﹣2x2+10x，

∵a＝﹣2＜0，∴S四边形APCD有最大值，

当x＝时，其最大值为：．此时点P的坐标（，）．