Question

（1）如图（1），在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O

①若∠A=60°，求∠BOC的度数；

②若∠A=n°，则∠BOC等于多少度；

（2）如图（2），在△中的外角平分线相交于点，∠A=40°，求∠的度数；

（3）上面（1）、（2）两题中的∠BOC与∠有怎样的数量关系？

Answer

（1）①∠BOC=120°；②∠BOC=90°+；（2）∠BOC=70°；（3）互补关系.

【解析】

（1）①根据∠A=60°，利用三角形的内角和为180°，得∠ABC+∠ACB=120°，由∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O知∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，即∠1+∠2=60°，再根据三角形内角和知∠BOC=120°；②根据∠A= n°，利用三角形的内角和为180°，得∠ABC+∠ACB=180°- n°，由∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O知∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，即∠1+∠2=(180°- n°)=90°-，在根据三角形内角和知∠BOC=90°+；

（2）根据∠A=40°，利用三角形的内角和为180°，得∠ABC+∠ACB=140°，则∠DBC+∠ECB=220°由∠ABC、∠ACB的外角平分线相交于点O知∠1=∠DBC，∠2=∠ECB，即∠1+∠2=110°，在根据三角形内角和知∠BOC=70°；若∠A’=n°，利用三角形的内角和为180°，得∠ABC+∠ACB=180°- n°，则∠DBC+∠ECB=180°+ n°由∠ABC、∠ACB的外角平分线相交于点O知∠1=∠DBC，∠2=∠ECB，即∠1+∠2=90°+，在根据三角形内角和知∠BOC=90°-；（3）由∠BOC=90°+，∠BOC=90°-，故它们是互补关系.

（1）①∵∠A=60°，

∴∠ABC+∠ACB=120°，

∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，

∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，∴∠1+∠2=60°，

∴∠BOC=180°-（∠1+∠2）=120°；

②∵∠A= n°，

∴∠ABC+∠ACB=180°- n°，

∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，

∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，

∴∠1+∠2=(180°- n°)=90°-，

∴∠BOC=180°-（∠1+∠2）=90°+；

（2）∵根据∠A=40°，

∴∠ABC+∠ACB=140°，

∴∠DBC+∠ECB=220°

∵∠ABC、∠ACB的外角平分线相交于点O，

∴知∠1=∠DBC，∠2=∠ECB，

∴∠1+∠2=110°，

∴∠BOC=180°-（∠1+∠2）=70°；

（3）若∠A’=n°，

∴∠ABC+∠ACB=180°- n°，

∴∠DBC+∠ECB=180°+ n°

∵∠ABC、∠ACB的外角平分线相交于点O

∴∠1=∠DBC，∠2=∠ECB，

∴∠1+∠2=90°+，

∴∠BOC=90°-；

∵∠BOC=90°+，∠BOC=90°-，

∴它们是互补关系.