Question

如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE．

（1）求证：四边形AEBD是矩形；

（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．

Answer

【解析】
（1）证明：∵点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，

∴四边形AEBD是平行四边形。

∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC。

∴∠ADB=90°。

∴平行四边形AEBD是矩形。

（2）当∠BAC=90°时，矩形AEBD是正方形。理由如下：

∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD=BD=CD。

∵由（1）得四边形AEBD是矩形，∴矩形AEBD是正方形。

【解析】

试题（1）利用平行四边形的判定首先得出四边形AEBD是平行四边形，进而由等腰三角形的性质得出∠ADB=90°，即可得出答案；

（2）利用等腰直角三角形的性质得出AD=BD=CD，进而利用正方形的判定得出即可．

（1）证明：∵点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，

∴四边形AEBD是平行四边形，

∵AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，

∴AD⊥BC，

∴∠ADB=90°，

∴平行四边形AEBD是矩形；

（2）当∠BAC=90°时，

理由：∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，

∴AD=BD=CD，

∵由（1）得四边形AEBD是矩形，

∴矩形AEBD是正方形．