Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与抛物线y＝ax²+bx交于点A（6，0）和点B（1，﹣5）．

（1）求这条抛物线的表达式和直线AB的表达式；

（2）如果点C在直线AB上，且∠BOC的正切值是，求点C的坐标．

Answer

（1）y＝x2﹣6x，y＝x﹣6；（2）C（，﹣）．

【解析】

（1）利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式；

（2）先说明OA=OH=6，则∠OAH=45°，作辅助线，根据正切值证明∠BOC=∠OBE，作OB的垂直平分线交AB于C，交OB于F，解法一：先根据中点坐标公式可得F（），易得直线OB的解析式为：y=﹣5x，根据两直线垂直的关系可得直线FC的解析式为：y，列方程x﹣6，解出可得C的坐标；

解法二：过C作CD⊥x轴于D，连接OC，设C（m，m﹣6），根据OC=BC，列方程可得结论．

（1）把点A（6，0）和点B（1，﹣5）代入抛物线y=ax2+bx得：

，解得：，∴这条抛物线的表达式：y=x2﹣6x，设直线AB的解析式为：y=kx+b，把点A（6，0）和点B（1，﹣5）代入得：，解得：，则直线AB的解析式为：y=x﹣6；

（2）当x=0时，y=6，当y=0时，x=6，∴OA=OH=6．

∵∠AOH=90°，∴∠OAH=45°，过B作BG⊥x轴于G，则△ABG是等腰直角三角形，∴AB=5，过O作OE⊥AB于E，S△AOHAH•OEOA•OH，6•OE=6×6，OE=3，∴BE=AB﹣AE=5，Rt△BOE中，tan∠OBE．

∵∠BOC的正切值是，∴∠BOC=∠OBE，∴OC=CB．作OB的垂直平分线交AB于C，交OB于F，解法一：∵B（1，﹣5），∴F（），易得直线OB的解析式为：y=﹣5x，设直线FC的解析式为：yx+b，把F（）代入得：b，b，∴直线FC的解析式为：yx﹣6，x，当x时，y，∴C（）；

解法二：过C作CD⊥x轴于D，连接OC，设C（m，m﹣6），则AC（6﹣m）．

∵OC=BC，∴m2+（m﹣6）2=[5（6﹣m）]，m，∴C（）．