Question

如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝4，AB＝2CD＝6，E是边BC上一点，过点D、E分别作BC、CD的平行线交于点F，联结AF并延长，与射线DC交于点G．

（1）当点G与点C重合时，求CE：BE的值；

（2）当点G在边CD上时，设CE＝m，求△DFG的面积；（用含m的代数式表示）

（3）当△AFD∽△ADG时，求∠DAG的余弦值．

Answer

（1）EC：BE＝1：1；（2）S△DFG＝；（3）cos∠DAG＝.

【解析】

（1）由题意可得四边形DCEF是平行四边形，可得CD=EF，通过证明△CFE∽△CAB，可得，从而BE=CE，则可求CE：BE的值；

（2）延长AG，BC交为于点M，过点C作CN⊥AB于点N，交EF于点H，由题意可得四边形ADCN是矩形，可得AD=CN=4，CD=AN=3，BN=3，由平行线分线段成比例可求BE，ME，MC，CH，GC的长，即可求GD的长，由三角求形面积公式可△DFG的面积；

（3）由△AFD∽△ADG，可得∠AFD=∠ADG=90°，由余角的性质可得∠DAG=∠B，即可求∠DAG的余弦值．

（1）如图，

∵DC∥EF，DF∥CE，∴四边形DCEF是平行四边形，∴CD=EF．

∵AB=2CD=6，∴AB=2EF．

∵EF∥CD，AB∥CD，∴EF∥AB，∴△CFE∽△CAB，∴，∴BC=2CE，∴BE=CE，∴EC：BE=1：1．

（2）如图，延长AG，BC交为于点M，过点C作CN⊥AB于点N，交EF于点H．

∵AD⊥CD，CN⊥CD，∴AD∥CN，且CD∥AB，∴四边形ADCN是平行四边形．

又∵∠DAB=90°，∴四边形ADCN是矩形，∴AD=CN=4，CD=AN=3，∴BN=AB﹣AN=3．

在Rt△BCN中，BC5，∴BE=BC﹣CE=5﹣m．

∵EF∥AB，∴，即，∴ME=BE=5﹣m，∴MC=ME﹣CE=5﹣2m．

∵EF∥AB，∴，∴HCm．

∵CG∥EF，∴，即，∴GC，∴DG=CD﹣GC=3，∴S△DFGDG×CH．

（3）过点C作CN⊥AB于点N．

∵AB∥CD，∠DAB=90°，∴∠DAB=∠ADG=90°，若△AFD∽△ADG，∴∠AFD=∠ADG=90°，∴DF⊥AG．

又∵DF∥BC，∴AG⊥BC，∴∠B+∠GAB=90°，且∠DAG+∠GAB=90°，∴∠B=∠DAG，∴cos∠DAG=cosB．