Question

如图，已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E为AB上一点，AC＝AE＝3，BC＝4，过点A作AB的垂线交射线EC于点D，延长BC交AD于点F．

(1)求CF的长；

(2)求∠D的正切值．

Answer

(1)CF＝；(2)tanD＝．

【解析】

（1）证明△ABC∽△FAC，利用相似三角形的对应边成比例列式求解即可.

（2）过点C作CH⊥AB于点H，由余角的性质可知∠D=∠ECH，先由勾股定理求出AB的长，再根据面积法求出CH的长，再由勾股定理求出AH的长，继而可求出HE的长，然后根据正切的定义求解即可.

(1)∵∠ACB＝90°，

∴∠ACF＝∠ACB＝90°，∠B+∠BAC＝90°，

∵AD⊥AB，

∴∠BAC+∠CAF＝90°，

∴∠B＝∠CAF，

∴△ABC∽△FAC，

∴，即，

解得CF＝；

(2)如图，过点C作CH⊥AB于点H，

∵∠D+∠AED=90°, ∠ECH+∠AED=90°,

∴∠D=∠ECH.

∵AC＝3，BC＝4，

∴AB＝5，

则CH＝，

∴AH＝＝，EH＝AE﹣AH＝，

∴tanD＝tan∠ECH＝．