Question

如图，在矩形ABCD中，点E是边AD上的点，EF⊥BE，交边CD于点F，联结CE、BF，如果tan∠ABE＝，那么CE：BF＝_____．

Answer

4：5

【解析】

首先证明B，C，F，E四点共圆，推出∠EBF＝∠ECF，推出△BEF∽△CDE，可得 ＝，再证明∠DEF＝∠ABE，推出tan∠ABE＝tan∠DEF＝＝，设DF＝3k，DE＝4k，可得EF＝5k，由此即可解决问题．

【解析】
∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A＝∠D＝∠BCD＝90°，

∵EF⊥BE，

∴∠BEF＝90°，

∴∠BEF+∠BCF＝180°，

∴B，C，F，E四点共圆，

∴∠EBF＝∠ECF，∵∠BEF＝∠D＝90°，

∴△BEF∽△CDE，

∴＝，

∵∠ABE+∠AEB＝90°，∠AEB+∠DEF＝90°，

∴∠DEF＝∠ABE，

∴tan∠ABE＝tan∠DEF＝＝，

设DF＝3k，DE＝4k，

∴EF＝5k，

∴＝＝，

故答案为：4：5．