Question

如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠CAD＝∠B，点E在边AB上，联结CE交AD于点H，点F在CE上，且满足CF•CE＝CD•BC．

(1)求证：△ACF∽△ECA；

(2)当CE平分∠ACB时，求证：=．

Answer

(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【解析】

（1）根据相似三角形的判定定理得到△ACD∽△BCA，求得＝，得到AC2＝CD•BC，等量代换得到AC2＝CF•CE，于是得到结论；

（2）根据相似三角形的性质得到∠CAE＝∠CDE，根据角平分线定义得到∠ACE＝∠DCH，根据相似三角形的性质即可得到结论．

(1)∵∠ACD＝∠BCA，∠CAD＝∠B，

∴△ACD∽△BCA，

∴＝，

∴AC2＝CD•BC，

∵CF•CE＝CD•BC，

∴AC2＝CF•CE，

∴＝，

∵∠ACF＝∠ECA，

∴△ACF∽△ECA；

(2)∵△ACF∽△ECA，

∴∠CAE＝∠CDE，

∵当CE平分∠ACB，

∴∠ACE＝∠DCH，

∴△ACE∽△DCH，

∴=2=

∵AC2＝CD•BC，

∴=．