Question

在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax²+bx+c(a＞0)与x轴交于A(﹣1，0)、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点D，对称轴为直线x＝1，交x轴于点E，tan∠BDE＝．

(1)求抛物线的表达式；

(2)若点P是对称轴上一点，且∠DCP＝∠BDE，求点P的坐标．

Answer

(1)y＝x2﹣2x﹣3；(2)点P的坐标为(1，﹣6)或(1，﹣)．

【解析】

（1）由点A的坐标及抛物线的对称轴可得出AE＝2，利用二次函数的性质可得出BE＝2，结合tan∠BDE＝ ，可得出DE的长度，进而可得出点D的坐标，抛物线的表达式可设为y＝a（x﹣1）2﹣4，根据点A的坐标，利用待定系数法可求出a的值，进而可得出抛物线的表达式；

（2）取点F（5，0），连接DF，过点C作CM⊥直线DE，垂足为点M，过点B作BN⊥直线DF，垂足为点N，则△DEF，△BNF为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可求出BN，DN的长度，进而可得出tan∠BDN＝，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点C的坐标，结合点D的坐标可得出△CDM为等腰直角三角形，分点P在点D的下方和点P在点D的上方两种情况考虑：①当点P在点D下方时，由∠CDM＝∠DCP+∠CPM＝45°，∠BDE+∠BDN＝45°可得出∠CPM＝∠BDN，进而可得出tan∠CPM＝＝，代入CM＝1可求出MP，进而可求出点P的坐标；②当点P在点D上方时，由∠PCD+∠PCM＝45°，∠BDE+∠BDN＝45°可得出∠PCM＝∠BDN，进而可得出tan∠PCM＝＝，代入CM＝1可求出MP，进而可求出点P的坐标．综上，此题得解．

(1)依照题意，画出图形，如图1所示．

∵点A的坐标为(﹣1，0)，抛物线的对称轴为直线x＝1，

∴点E的坐标为(1，0)，

∴BE＝AE＝2．

∵tan∠BDE＝ ＝，

∴DE＝2BE＝4，

∴点D的坐标为(1，﹣4)．

∴抛物线的表达式可设为y＝a(x﹣1)2﹣4．

将(﹣1，0)代入y＝a(x﹣1)2+4，得：4a﹣4＝0，

解得：a＝1，

∴抛物线的表达式为y＝(x﹣1)2﹣4，即y＝x2﹣2x﹣3．

(2)取点F(5，0)，连接DF，过点C作CM⊥直线DE，垂足为点M，过点B作BN⊥直线DF，垂足为点N，如图2所示．

∵点D的坐标为(1，﹣4)，

∴EF＝DE＝4，

∴△DEF为等腰直角三角形，

∴∠EDF＝∠EFD＝45°，DF＝4 ．

∵BN⊥DF，

∴△BNF为等腰直角三角形，

∴NB＝NF＝ BF＝，

∴DN＝DF﹣NF＝3，

∴tan∠BDN＝ ＝．

当x＝0时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，

∴点C的坐标为(0，﹣3)．

∵点D的坐标为(1，﹣4)，CM⊥DE，

∴CM＝DM＝1，

∴△CDM为等腰直角三角形，

∴∠DCM＝∠CDM＝45°．

①当点P在点D下方时，∵∠CDM＝∠DCP+∠CPM＝45°，∠BDE+∠BDN＝45°，

∴∠CPM＝∠BDN，

∴tan∠CPM＝＝，即＝，

∴MP＝3，

∴EP＝EM+MP＝6，

∴点P的坐标为(1，﹣6)；

②当点P在点D上方时，∵∠PCD+∠PCM＝45°，∠BDE+∠BDN＝45°，

∴∠PCM＝∠BDN，

∴tan∠PCM＝＝，

∴MP＝，

∴EP＝EM+MP＝，

∴点P的坐标为(1，﹣)．

综上所述，点P的坐标为(1，﹣6)或(1，﹣)．