Question

在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，点O是AB的中点，点D是边AC上一点，DE⊥BD，交BC的延长线于点E，OD⊥DF，交BC边于点F，过点E作EG⊥AB，垂足为点G，EG分别交BD、DF、DC于点M、N、H．

(1)求证：；

(2)设CD＝x，NE＝y，求y关于x的函数关系式及其定义域；

(3)当△DEF是以DE为腰的等腰三角形时，求线段CD的长．

Answer

(1)证明见解析；(2)y＝x(0＜x＜2)；(3)CD的长为或．

【解析】

（1）只要证明△OBD∽△NED，即可解决问题．（2）由tan∠DBC＝＝，又因为＝，可得＝，由此即可解决问题．（3）分两种情形分别求解即可解决问题．

(1)如图1中，

∵OD⊥DF，BD⊥DE，

∴∠ODF＝∠BDE＝90°，

∴∠ODB＝∠NDE，

∵EG⊥AB，

∴∠BGM＝∠MDE＝90°，

∵∠BMG＝∠EMD，

∴OBD＝∠DEN，

∴△OBD∽△NED，

∴＝．

(2)如图1中，∵∠BCD＝∠BDE＝90°，

∴tan∠DBC＝＝，

∵＝，

∴＝，

在Rt△ABC中，AB＝＝＝5，

∴OB＝OA＝2.5，

∴＝ ，

∴y＝x(0＜x＜2)．

(3)①如图2﹣1中，当DE＝DF时，作OK⊥AC于K．

∵∠OKD＝∠DCF＝∠ODF＝90°，

∴∠ODK+∠KOD＝90°，∠ODK+∠CDF＝90°，

∴∠DOK＝∠CDF，

∴△OKD∽△DCF，

∴＝，

∴＝，

∴CF＝x(2﹣x)，

∵DF＝DE，DC⊥EF，

∴∠CDE＝∠CDF，

∵∠CDE+∠CDB＝90°，∠CBD+∠CDB＝90°，

∴∠∠CDE＝∠CBD＝∠CDF，

∵∠DCF＝∠DCB＝90°，

∴△DCF∽△BCD，

∴＝，

∴CD2＝CF•CB，

∴x2＝x(2﹣x)，

解得x＝或0(舍弃)

∴CD＝．

如图2﹣2中，当DE＝EF时，

∵ED＝EF，

∴∠EDF＝∠EFD，

∴∠EDC+∠CDF＝∠DBC+∠BDF，

∵∠EDC＝∠DBC，

∴∠CDF＝∠BDF，

∵∠CDF+∠ADO＝90°，∠BDF+∠BDO＝90°，

∴∠ADO＝∠BDO，

∵AO＝OB，易知DA＝DB，设DA＝DB＝4﹣x，

在Rt△BCD中，∵BD2＝CD2+BC2，

∴(4﹣x)2＝x2+32，

∴x＝，

∴CD＝．

综上所述，CD的长为或．