Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AC上一点，且AE＝BC，过点A作AD⊥CA，垂足为A，且AD＝AC，AB、DE交于点F（1）判断线段AB与DE的数量关系和位置关系，并说明理由（2）连接BD、BE，若设BC＝a，AC＝b，AB＝c，请利用四边形ADBE的面积证明勾股定理．

Answer

（1）AB=DE，AB⊥DE.理由见解析；（2）证明见解析.

【解析】

试题（1）根据垂直的定义可证得∠DAE=∠ACB=90°，然后根据ASA可证△ABC≌△DEA，从而得证AB=DE，且∠3=∠1，然后根据直角三角形的内角和等量代换可证得AB⊥DE；

（2）根据三角形的面积和四边形的面积，可知S四边形ADBE= S△ADE+ S△BDE，S四边形ADBE=S△ABE+S△ADB=a2＋b2可得证符合勾股定理的逆定理．

试题解析：（1）【解析】
AB=DE， AB⊥DE．

如图2，∵AD⊥CA，∴∠DAE=∠ACB=90°，

∵AE=BC，∠DAE=∠ACB，AD=AC，∴△ABC≌△DEA，∴AB=DE，

∠3=∠1，∵∠DAE=90°，∴∠1+∠2=90°，∴∠3+∠2=90°，

∴∠AFE=90°，∴AB⊥DE．

（2）如图2，∵S四边形ADBE= S△ADE+ S△BDE=DE·AF+DE·BF=DE·AB =c2，

S四边形ADBE=S△ABE+S△ADB=a2＋b2，

∴a2＋b2=c2，∴a2＋b2=c2．