Question

如图，点P是正方形ABCD对角线AC上一动点，点E在射线BC上，且PB＝PE，连接PD，O为AC中点．

(1)如图1，当点P在线段AO上时，试猜想PE与PD的数量关系和位置关系，不用说明理由；

(2)如图2，当点P在线段OC上时，(1)中的猜想还成立吗？请说明理由；

(3)如图3，当点P在AC的延长线上时，请你在图3中画出相应的图形(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)，并判断(1)中的猜想是否成立？若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由．

Answer

(1)PE与PD的数量关系和位置关系分别为：PE＝PD，PE⊥PD；(2)成立，理由见解析；(3)成立，理由见解析.

【解析】

（1）根据点P在线段AO上时，利用三角形的全等判定可以得出PE⊥PD，PE＝PD；

（2）利用三角形全等得出，BP＝PD，由PB＝PE，得出PE＝PD，要证PE⊥PD；从三方面分析，当点E在线段BC上（E与B、C不重合）时，当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，当点E在BC的延长线上时，分别分析即可得出；

（3）利用PE＝PB得出P点在BE的垂直平分线上，利用垂直平分线的性质只要以P为圆心，PB为半径画弧即可得出E点位置，利用（2）中证明思路即可得出答案．

(1)当点P在线段AO上时，

在△ABP和△ADP中，

∴△ABP≌△ADP，

∴BP＝DP，

∵PB＝PE，

∴PE＝PD，

过点P做PM⊥CD于点M，作PN⊥BC，于点N，

∵PB＝PE，PN⊥BE，

∴BN＝NE，

∵BN＝DM，

∴DM＝NE，

在Rt△PNE与Rt△PMD中，

∵PD＝PE，NE＝DM，

∴Rt△PNE≌Rt△PMD，

∴∠DPM＝∠EPN，

∵∠MPN＝90°，

∴∠DPE＝90°，

故PE⊥PD，

PE与PD的数量关系和位置关系分别为：PE＝PD，PE⊥PD；

(2)∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，

∴BA＝DA，∠BAP＝∠DAP＝45°，

∵PA＝PA，

∴△BAP≌△DAP(SAS)，

∴PB＝PD，

又∵PB＝PE，

∴PE＝PD．

(i)当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，此时，PE⊥PD．

(ii)当点E在BC的延长线上时，如图．

∵△ADP≌△ABP，

∴∠ABP＝∠ADP，

∴∠CDP＝∠CBP，

∵BP＝PE，

∴∠CBP＝∠PEC，

∴∠PEC＝∠PDC，

∵∠1＝∠2，

∴∠DPE＝∠DCE＝90°，

∴PE⊥PD．

综合(i)(ii)，PE⊥PD；

(3)同理即可得出：PE⊥PD，PD＝PE．