Question

如图所示，等边△ABC的边长为12cm，动点P以每秒2cm的速度从A向B匀速运动，动点Q以每秒1cm的速度从B向C匀速运动，两动点同时出发，当点P到达点B时，所有运动停止．设运动的时间为x秒．

(1)当运动时间为1秒时，PB＝　   　，BQ＝　   　；

(2)运动多少秒后，△PBQ恰好为等边三角形？

(3)运动多少秒后，△PBQ恰好为直角三角形？

Answer

(1)10cm，1cm；(2)运动4s时，△PBQ是等边三角形；(3)当t＝3s或s时，△PBQ是直角三角形．

【解析】

（1）根据路程＝速度×时间计算即可；

（2）根据BP＝BQ构建方程即可解决问题；

（3）分两种情形分别求解即可解决问题；

(1)由题意t＝1时，PA＝2cm，BQ＝1cm，

∵AB＝12cm，

∴PB＝10cm，

故答案为10cm，1cm．

(2)当BP＝BQ时，∵∠B＝60°，

∴△PBQ是等边三角形，

∴12﹣2t＝t，

解得t＝4s，

答：运动4s时，△PBQ是等边三角形．

(3)①当∠PQB＝90°时，∵∠B＝60°，

∴∠BPQ＝30°，

∴PB＝2BQ，

∴12﹣2t＝2t，

解得t＝3，

②当∠BPQ＝90°时，∵∠BQP＝30°，

∴BQ＝2PB，

∴t＝2(12﹣2t)，

解得t＝，

综上所述，当t＝3s或s时，△PBQ是直角三角形．