Question

如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．动点P从点A出发沿AC向终点C运动，同时动点Q从点B出发沿BA向点A运动，到达A点时停止运动．点P也同时停止．点P，Q运动速度均为每秒1个单位长度，连接PQ，设运动时间为t(t＞0)秒．

(1)当点Q从B点向A点运动时(未到达A点)，

①当t＝_____时PQ∥BC

②求△APQ的面积S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围；

(2)伴随着P，Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线为l：

①当l经过点A时，射线QP交AD于点E，求此时的t的值和AE的长；

②当l经过点B时，求t的值．

Answer

(1)①秒；②S△APQ＝﹣+t(0＜t≤6)；(2)①t＝3，AE＝6；②t＝5．

【解析】

(1)①因为PQ∥BC，利用平行线分线段成比例，可得，找到关于t的方程，求解即可；②过P作PE⊥AB于E，利用∠BAC的正弦，可以求出PE的长，最后找到S与t的函数关系式；

(2)①因为l为PQ的垂直平分线且过点A，所以AP=AQ，由此可以求出t的值，延长QP交CD于M，容易得到△APQ和△CPM相似，找到相似比可求出AE的长；②当l经过B时，可得BQ=BP=AP，过P作PG⊥AB于G，利用三线合一可得AG=BG，利用PG∥BC，可转化出P也为AC的中点，进而可求出AP的值，最后可找到t的值.

【解析】
(1)①由题意得：BQ＝AP＝t，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC＝90°，

∵AB＝6，BC＝8，

∴AC＝10，AQ＝6﹣t，

∵PQ∥BC，

∴，

∴，

t＝，

则当t＝秒时，PQ∥BC，

故答案为：秒；

②如图1，过P作PE⊥AB于E，

sin∠BAC＝，

∴，PE＝t，

∴S△APQ＝AQ•PE＝(6﹣t) t＝﹣+t(0＜t≤6)；

(2)①如图2，延长CD交QP于M，

∵线段PQ的垂直平分线为l经过点A，

∴AQ＝AP，即6﹣t＝t，

∴t＝3，

∴AQ＝AP＝3，CP＝10﹣3＝7，

∵AQ∥CD，

∴△AQP∽△CMP，

∴，

∴ ，CM＝7，

∴DM＝7﹣6＝1，

∵AQ∥DM，

∴△AQE∽△DME，

∴＝，

∵AE+DE＝8，

∴AE＝6；

②如图3，连接PB，过P作PG⊥AB于G，则PG∥BC，

∵线段PQ的垂直平分线l经过点B，

∴PB＝BQ＝t＝AP，

∴AG＝BG，

∴AP＝PC＝AC＝5，

∴t＝5．