Question

如图，在平面直角坐标系中，OA＝2，OB＝3，现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移2个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD．

(1)求点C、D的坐标及四边形ABDC的面积；

(2)若点Q在线的CD上移动(不包括C，D两点)．QO与线段AB，CD所成的角∠1与∠2如图所示，给出下列两个结论：①∠1+∠2的值不变；②的值不变，其中只有一个结论是正确的，请你找出这个结论，并求出这个值．

(3)在y轴正半轴上是否存在点P，使得S_△CDP＝S_△PBO？如果有，试求出点P的坐标．

Answer

(1)C(0，2)、D(5，2)；S四边形ABDC=10；(2)∠1+∠2＝180°；证明见解析；(3)存在，点P的坐标为(0，)或(0，5)．

【解析】

（1）依据平移与坐标变化的规律可求的点C、D的坐标，由点的坐标可求得AB、OC的长，从而可求得四边形ABDC的面积；

（2）依据平行的性质可证明∠1+∠2＝180°；

（3）设点P的坐标（0，a），然后依据三角形的面积公式列方程求解即可．

(1)OA＝2，OB＝3，

∴A(﹣2，0)、B(3，0)．

∵将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移2个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，

∴C(0，2)、D(5，2)．

∵由平移的性质可知：AB∥CD，AB＝CD，

∴ABCD为平行四边形．

∴四边形ABDC的面积＝AB•OC＝5×2＝10．

(2)∠1+∠2＝180°．

证明：如图1所示；

∵AB∥CD，

∴∠1＝∠3．

∵∠3+∠2＝180°．

∴∠1+∠2＝180°．

∴∠1+∠2为定值．

∵∠1+∠2＝180°，

∴∠2＝180°﹣∠1．

∴＝＝﹣1．

∵当点Q在CD上运动时，∠1的度数在不断变化，

∴﹣1在不断变化，即的值在不断变化；

(3)如图2所示：设点P的坐标为(0，a)，则PC＝(2﹣a)，PO＝a．

∵S△CDP＝S△PBO，

∴DC•PC＝OB•OP．

∴×5(2﹣a)＝×3×a．

∴10﹣5a＝3a

解得：a＝

如图3所示：设点P的坐标为(0，a)，则PC＝a﹣2，PO＝a．

∵S△CDP＝S△PBO，

∴DC•PC＝OB•OP．

∴×5×(a﹣2)＝×3×a．

∴5a﹣10＝3a．

解得：a＝5．

综上所述，点P的坐标为(0，)或(0，5)．