Question

如图，边长为24的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连结MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连结HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（　　）

A. 12 B. 6 C. 3 D. 1

Answer

B

【解析】

取CB的中点G，连接MG，根据等边三角形的性质可得BD＝BG，再求出∠HBN＝∠MBG，根据旋转的性质可得MB＝NB，然后利用“边角边”证明△MBG≌△NBH，再根据全等三角形对应边相等可得HN＝MG，然后根据垂线段最短可得MG⊥CH时最短，再根据∠BCH＝30°求解即可．

如图，取BC的中点G，连接MG，

∵旋转角为60°，

∴∠MBH+∠HBN＝60°，

又∵∠MBH+∠MBC＝∠ABC＝60°，

∴∠HBN＝∠GBM，

∵CH是等边△ABC的对称轴，

∴HB＝AB，

∴HB＝BG，

又∵MB旋转到BN，

∴BM＝BN，

在△MBG和△NBH中，

，

∴△MBG≌△NBH（SAS），

∴MG＝NH，

根据垂线段最短，当MG⊥CH时，MG最短，即HN最短，

此时∠BCH＝×60°＝30°，CG＝AB＝×24＝12，

∴MG＝CG＝×12＝6，

∴HN＝6，

故选B．