Question

已知△ABC与△ADE是等边三角形，点B、A、D在一条直线上，∠CPN＝60°，PN交直线AE于点N．（1）若点P在线段AB上运动，如图1（不与A、B重合），求证：PC＝PN；（2）若点P在线段AD上运动（不与A、D重合），在图2中画出图形，猜想线段PC、PN的数量关系并证明你的结论．

Answer

（1）见解析；（2）PC＝PN；见解析。

【解析】

（1）在AC上截取AF＝AP，可得△PCF≌△PNA，所以PC＝PN；

（2）当P在AD上时，∠CPN的一边PN交AE的延长线于N，此时也有PC＝PN过P作AC的平行线交BC的延长线于F，由平行线的性质可得出∠F＝∠BCA＝60°，故可得出∠F＝∠APF，根据全等三角形的判定定理得出△PCF≌△NPA，由全等三角形的性质即可得出结论．

（1）PC＝PN；理由如下：

如图1所示，在AC上截取AF＝AP，

∵AP＝AF，∠BAC＝60°，

∴△APF为等边三角形，

∴PF＝PA，

∵∠CPF+∠FPN＝60°，∠FPN+∠NPA＝60°，

∴∠CPF＝∠APN，

在△PCF和△PNA中，

，

∴△PCF≌△PNA（ASA），

∴PC＝PN；

（2）PC＝PN；理由如下：

当P在AD上时，∠CPN的一边PN交AE的延长线于N，此时也有PC＝PN；

过P作AC的平行线交BC的延长线于F，如图2所示：

∴∠F＝∠BCA＝60°，∠APF＝∠BAC＝60°，

∴∠F＝∠APF，

∴CF＝AP，

∵∠CPN＝60°，

∴∠NPF＝60°﹣∠FPC，

∵∠BPC＝60°﹣∠CPF，

∴∠NPF＝∠BPC，

∵∠F＝∠PAN＝60°，

∴∠FCP＝∠APN＝60°+∠APC，

在△PCF和△NPA中，

，

∴△PCF≌△NPA（AAS），

∴PC＝PN；