Question

如图1，△ABC中；（1）若∠ABC＝45°，P为BC边上一点，且PC＝2PB，∠APC＝60°，求∠ACB的大小．（2）如图2，分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE，且AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE＝α．①连接DC与BE，G、F分别是DC与BE的中点，求∠AFG的度数．②如图3，DC、BE交于点M，连接AM，直接写出∠AMC与α的数量关系是　   　．

Answer

（1）∠ACB＝75°；（2）①∠AFG＝90°﹣α；②∠AMC＝90°+α．

【解析】

（1）过C作AP的垂线CD，利用等腰三角形的判定和性质解答即可；

（2）①连接AG，利用全等三角形的判定和性质解答即可；

②由①解答即可．

（1）过C作AP的垂线CD，垂足为点D，连接BD，

∵△PCD中，∠APC＝60°，

∴∠DCP＝30°，PC＝2PD，

∵PC＝2PB，

∴BP＝PD，

∴△BPD是等腰三角形，∠BDP＝∠DBP＝30°，

∵∠ABP＝45°，

∴∠ABD＝15°，

∵∠BAP＝∠APC﹣∠ABC＝60°﹣45°＝15°，

∴∠ABD＝∠BAD＝15°，

∴BD＝AD，

∵∠DBP＝45°﹣15°＝30°，∠DCP＝30°，

∴BD＝DC，

∴△BDC是等腰三角形，

∵BD＝AD，

∴AD＝DC，

∵∠CDA＝90°，

∴∠ACD＝45°，

∴∠ACB＝∠DCP+∠ACD＝75°；

（2）①连接AG，

∵∠DAB＝∠CAE，

∴∠DAB+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，

∴∠DAC＝∠BAE，

在△ADC和△ABE中

∴△ADC≌△ABE（SAS），

∴DC＝BE，∠ACD＝∠AEB，

∵G、F分别是DC与BE的中点，

∴EF＝CG，

在△ACG和△AEF中

，

∴△ACG≌△AEF（SAS），

∴AG＝AF，∠CAG＝∠EAF，

∴∠AGF＝∠AFG，∠CAG﹣∠CAF＝∠EAF﹣∠CAF，

∴∠EAC＝∠GAF，

∵∠EAC＝α，

∴∠GAF＝α，

∵∠GAF+∠AFG+∠AGF＝180°，

∴∠AFG＝90°﹣α；

②∠AMC＝90°+α．

故答案为：∠AMC＝90°+α．