Question

如图在平面直角坐标系中，已知点A(0，2)，△AOB为等边三角形，P是x轴负半轴上一个动点(不与原点O重合)，以线段AP为一边在其右侧作等边三角形△APQ．

(1)求点B的坐标；

(2)在点P的运动过程中，∠ABQ的大小是否发生改变？如不改变，求出其大小：如改变，请说明理由；

(3)连接OQ，当OQ∥AB时，求P点的坐标．

Answer

(1)点B的坐标为B(3，)；(2)∠ABQ＝90°，始终不变，理由见解析；(3)P的坐标为(﹣3，0)．

【解析】

（1）如图，作辅助线；证明∠BOC＝30°，OB＝2 ，借助直角三角形的边角关系即可解决问题；

（2）证明△APO≌△AQB，得到∠ABQ＝∠AOP＝90°，即可解决问题；

（3）根据点P在x的负半轴上，再根据全等三角形的性质即可得出结果

(1)如图1，过点B作BC⊥x轴于点C，

∵△AOB为等边三角形，且OA＝2，

∴∠AOB＝60°，OB＝OA＝2，

∴∠BOC＝30°，而∠OCB＝90°，

∴BC＝OB＝，OC＝＝3，

∴点B的坐标为B(3，)；

(2)∠ABQ＝90°，始终不变．理由如下：

∵△APQ、△AOB均为等边三角形，

∴AP＝AQ、AO＝AB、∠PAQ＝∠OAB，

∴∠PAO＝∠QAB，

在△APO与△AQB中，，

∴△APO≌△AQB(SAS)，

∴∠ABQ＝∠AOP＝90°；

(3)如图2，∵点P在x轴负半轴上，点Q在点B的下方，

∵AB∥OQ，∠BQO＝90°，∠BOQ＝∠ABO＝60°．

又OB＝OA＝2，可求得BQ＝3，

由(2)可知，△APO≌△AQB，

∴OP＝BQ＝3，

∴此时P的坐标为(﹣3，0)．