Question

如图，平行四边形ABCD中，AB＝4cm，BC＝6cm，∠B＝60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点（E不与A、D重合），且点E由A向D运动，速度为1cm/s，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE、DF，设点E运动时间为t．

（1）求证：无论t为何值，四边形CEDF都是平行四边形；

（2）①当t等于多少s时，CE⊥AD；

②当t等于多少s时，平行四边形CEDF的两条邻边相等．

Answer

（1）见解析；（2）①当t＝3.5s时，CE⊥AD，理由见解析；②当t＝2s时，平行四边形CEDF的两条邻边相等，理由见解析.

【解析】

（1）证△CFG≌△EDG，推出FG＝EG，根据平行四边形的判定推出即可；

（2）①求出△MBA≌△EDC，推出∠CED＝∠AMB＝90°，即可得出答案；

②求出△CDE是等边三角形，推出CE＝DE，即可得出答案．

（1）四边形ABCD是平行四边形，

∴CF∥ED，

∴∠FCD＝∠GCD，

又∠CGF＝∠EGD．

G是CD的中点，

CG＝DG，

在△FCG和△EDG中，

∵，

∴△CFG≌△EDG（ASA），

∴FG＝EG，

∵CG＝DG，

∴四边形CEDF是平行四边形；

（2）①当t＝3.5s时，CE⊥AD，

理由是：过A作AM⊥BC于M，

∵∠B＝60°，AB＝3，

∴BM＝1.5，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠CDA＝∠B＝60°，DC＝AB＝3，BC＝AD＝5，

∵AE＝3.5，

∴DE＝1.5＝BM，

在△MBA和△EDC中，

∵，

∴△MBA≌△EDC（SAS），

∴∠CED＝∠AMB＝90°，

即CE⊥AD；

②当t＝2s时，平行四边形CEDF的两条邻边相等，

理由是：∵AD＝5，AE＝2，

∴DE＝3，

∵CD＝3，∠CDE＝60°，

∴△CDE是等边三角形，

∴CE＝DE，

即平行四边形CEDF的两条邻边相等