Question

如图，抛物线y=ax²-6ax+6(a≠0)与x轴交于点A(8,0)，与y轴交于点B，在X轴上有一动点E(m,0)(0＜m＜8)，过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P,过点P作PM⊥AB于点M．

（）分别求出直线AB和抛物线的函数表达式；

（）设△PMN的面积为S₁，△AEN的面积为S₂，若S₁：S₂=36：25，求m的值；

（）如图2，在（）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE＇，旋转角为α(0°＜α＜90°)，连接E＇A、E＇B．

①在x轴上找一点Q，使△OQE＇∽△OE＇A，并求出Q点的坐标；

②求BE＇+AE＇的最小值．

Answer

（1）； ；（2）4；（3）①，②．

【解析】（1）把点A（8，0）代入抛物线y=ax²-6ax+6，可求得a的值，从而可得到抛物线的解析式，然后求得点A和点B的坐标，最后利用待定系数法可求得直线AB的解析式；

（2）E（m，0），则N（m，-m+6），P（m， +6），然后证明△ANE∽△ABO，依据相似三角形的性质可求得AN的长，接下来，再证明△NMP∽△NEA，然后依据相似三角形的性质可得到，从而可求得PM=12-m，然后依据PM=m²+3m，然后列出关于m的方程求解即可；

（3）①在（2）的条件下，m=4，则OE′=OE=4，然后再证明△OQE′∽△OE′A，依据相似三角形的性质可得到，从而可求得OQ的值，于是可得到点Q的坐标；

②由①可知，当Q为（2，0）时，△OQE′∽△OE′A，且相似比为，于是得到BE′+AE′=BE′+QE′，当点B、Q、E′在一条直线上时，BE′+QE′最小，最小值为BQ的长．

本题解析：

（）把点代入抛物线

得，

∴， ，

∴与轴交点，令，

得，

∴．

设为过， ，

∴，

∴．

（）∵过作轴垂线交于，交抛物线于，

∵，

∴， ，

∵，

∴，

∴，∴，

∴，

∵，

∴，

又∵，

∴，

∵，

∴，∴，

∵，

∴

，

，

，

， ，

∵，

∴．

（）①在（）的条件下， ，∴，

设，∵旋转，∴，

若，

则，

∵，

∴，

∴，∴，

∴．

②由①可知，当为时，

，且相似比为，

∴，

∴，

∴当旋转到所在直线上时， 最小，即为长度，

∵， ，

∴，

∴的最小值为．