Question

如图1，2，3，根据图中数据完成填空，再按要求答题：sin²A₁＋sin²B₁=____；sin²A₂＋sin²B₂=____；sin²A₃＋sin²B₃=____.

(1)观察上述等式，猜想：在Rt△ABC中，∠C=90°，都有sin²A＋sin²B=____；

(2)如图4，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，利用三角函数的定义和勾股定理证明你的猜想；

(3)已知∠A＋∠B=90°，且sinA=，求sinB的值.

Answer

填空：1；1；1；(1)1；(2)证明见解析；(3).

【解析】

（1）根据三角函数的定义和所给信息可完成三个等式，再由前面的结论，即可猜想出在Rt△ABC中，∠C=90°，sin2A+sin2B的值；

（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，利用锐角三角函数的定义得出sinA=，sinB=，则sin2A+sin2B=，再根据勾股定理得到a2+b2=c2，从而证明结论；

（3）利用所得关系式，结合已知条件sinA=，进行求解即可.

sin2A1＋sin2B1==1；sin2A2＋sin2B2==1；sin2A3＋sin2B3==1；

(1) 观察上述等式，可猜想：sin2A+sin2B=1；

(2)∵sinA=，sinB=，，

∴sin2A＋sin2B= ；

(3)∵sinA=，sin2A＋sin2B=1，

∴sinB=.

故答案为：填空：1；1；1；(1)1；(2)证明见解析；(3).