Question

阅读理解

我们知道，四边形具有不稳定性，容易变形.如图1，一个矩形发生变形后成为一个平行四边形，设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为a，我们把的值叫做这个平行四边形的变形度.

(1)若矩形发生变形后的平行四边形有一个内角是120°，则这个平行四边形的变形度是；____；

(2)猜想证明

设矩形的面积为S₁，其变形后的平行四边形的面积为S₂，试猜想S₁，S₂，之间的数量关系，并说明理由；

(3)拓展探究

如图2，在矩形ABCD中，点E是AD边上的一点，且AB²=AE·AD，这个矩形发生变形后为平行四边形A₁B₁C₁D₁，点E₁为点E的对应点，连接B₁E₁，B₁D₁，若矩形ABCD的面积为4(m＞0)，平行四边形A₁B₁C₁D₁的面积为2(m＞0)，试求∠A₁E₁B₁＋∠A₁D₁B₁的度数.

  

Answer

（1）；（2），理由见解析；（3）∠A1E1B1+∠A1D1B1=30°．

【解析】

【解析】
（1）；

（2）=，

理由：如图1，

设矩形的长和宽分别为a，b，变形后的平行四边形的高为h，

∴S1=ab，S2=ah，∴==，

∵sinα= ∴=，∴=；

（3）∵AB2=AE•AD，

∴A1B12=A1E1•A1D1，即=，

∵∠B1A1E1=∠D1A1B1，∴△B1A1E1∽△D1A1B1，

∴∠A1B1E1=∠A1D1B1，

∵A1D1∥B1C1，

∴∠A1E1B1=∠C1B1E1，

∴∠A1E1B1+∠A1D1B1=∠C1E1B1+∠A1B1E1=∠A1B1C1，

由（2）知=可知==2，

∴sin∠A1B1C1=，

∴∠A1B1C1=30°，

∴∠A1E1B1+∠A1D1B1=30°．