Question

如图，ABCD是矩形纸片，翻折∠B，∠D，使BC，AD恰好落在AC上．设F，H分别是B，D落在AC上的两点，E，G分别是折痕CE，AG与AB，CD的交点．

(1)求证：四边形AECG是平行四边形；

(2)若AB＝4cm，BC＝3cm，求线段EF的长．

Answer

(1)证明见解析；(2)EF长为cm．

【解析】

（1）根据：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，证明AG∥CE，AE∥CG即可；

（2）在Rt△AEF中，运用勾股定理可将EF的长求出；

(1)证明：在矩形ABCD中，

∵AD∥BC，

∴∠DAC＝∠BCA．

由题意，得∠GAH＝∠DAC，∠ECF＝∠BCA．

∴∠GAH＝∠ECF，

∴AG∥CE．

又∵AE∥CG，

∴四边形AECG是平行四边形．

(2)在Rt△ABC中，

∵AB＝4，BC＝3，

∴AC＝5．

∵CF＝CB＝3，

∴AF＝2．

在Rt△AEF中，

设EF＝x，则AE＝4﹣x．

根据勾股定理，得AE2＝AF2+EF2，

即(4﹣x)2＝22+x2．

解得x＝，即线段EF长为cm．