Question

（本题满分8分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠DAC是△ABC的一个外角．

实践与操作：

根据要求尺规作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）．

（1）作∠DAC的平分线AM；

（2）作线段AC的垂直平分线，与AM交于点F，与BC边交于点E，连接AE、CF．

猜想并证明：

判断四边形AECF的形状并加以证明．

Answer

（1）见解析；（2）见解析

【解析】

试题（1）根据题意画出图形即可；

（2）首先根据等腰三角形的性质与三角形内角与外角的性质证明∠ACB=∠FAC，进而可得AF∥BC；然后再根据线段的垂直平分线的性质可知：OA=OC, ∠AOF=∠COE=90°，AE=EC，FA=FC,由OA=OC, ∠AOF=∠COE=90°，∠CAM=∠ACB可证明AOF≌△COE，即可得到AF=EC．因此可由AF∥BC，AF=EC,得证四边形AECF是平行四边形．最后可由AC⊥EF得证结论：菱形．

试题解析：（1）

（2）猜想：四边形AECF是菱形

证明：∵AB=AC ，AM平分∠CAD

∴∠B=∠ACB，∠CAD=2∠CAM

∵∠CAD是△ABC的外角

∴∠CAD=∠B+∠ACB

∴∠CAD=2∠ACB

∴∠CAM=∠ACB

∴AF∥CE

∵EF垂直平分AC

∴OA=OC, ∠AOF=∠COE=

∴AOF≌△COE

∴AF=CE

在四边形AECF中，AF∥CE，AF=CE

∴四边形AECF是平行四边形

又∵EF⊥AC

∴四边形AECF是菱形