Question

如图，在正方形ABCD中，点P是AD边上的一个动点，连接PB，过点B作一条射线与边DC的延长线交于点Q，使得∠QBE＝∠PBC，其中E是边AB延长线上的点，连接PQ．

(1)求证：△PBQ是等腰直角三角形；

(2)若PQ²＝PB²+PD²+1，求△PAB的面积．

Answer

(1)证明见解析；(2)S△PAB=.

【解析】

（1）首先由∠QBE＝∠PBC，∠QBE+∠QBC＝90°易得△PAB与△QCB均为直角三角形，再证得△PAB≌△QCB，可得结论；

（2）由（1）可知QC＝PA，设正方形的边长AB＝a，PA＝x，利用方程思想和勾股定理，等量代换易得ax，可得结果．

(1)证明：∵∠QBE＝∠PBC，∠QBE+∠QBC＝90°，

∴∠PBQ＝∠PBC+∠QBC＝90°，

∵∠PBC+∠PBA＝90°，

∴∠PBA＝∠QBC，

在Rt△PAB和Rt△QCB中，

，

∴△PAB≌△QCB(ASA)，

∴PB＝QB，

∴△PBQ是等腰直角三角形；

(2)【解析】
设正方形的边长AB＝a，PA＝x，

∵△PAB≌△QCB，

∴QC＝PA＝x，

∴DQ＝DC+QC＝a+x，PD＝AD﹣PA＝a﹣x，

在Rt△PAB中，PB2＝PA2+AB2＝x2+a2，

∵PQ2＝PB2+PD2+1，

∴(a﹣x)2+(a+x)2＝x2+a2+(a﹣x)2+1，

解得：2ax＝1，

∴ax＝，

∵△PAB的面积S＝PA•PB＝ax＝×=．