Question

如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标为(3，3)．将正方形ABCO绕点A顺时针旋转角度α(0°＜α＜90°)，得到正方形ADEF，ED交线段OC于点G，ED的延长线交线段BC于点P，连AP、AG．

(1)求∠PAG的度数；

(2)当∠1＝∠2时，求点P的坐标；

(3)在(2)的条件下，直线PE上是否存在点M，使以M、A、G为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出M点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

(1)∠PAG＝45°；(2)点P的坐标为(3，3﹣3)；(3)点M的坐标为(0，﹣3)或(2，3).

【解析】

（1）利用全等三角形的判定定理HL可证出Rt△AOG≌Rt△ADG、Rt△ABP≌Rt△ADP，根据全等三角形的性质可得出∠1＝∠DAG、∠BAP＝∠DAP，由∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP＝90°，可求出∠PAG＝∠DAG+∠DAP＝45°；

（2）由Rt△AOG≌Rt△ADG可得出∠AGO＝∠AGD，结合等角的余角相等可得出∠AGO＝∠AGD＝∠PGC，由∠AGO+∠AGD+∠PGC＝180°，可得出∠AGO＝∠AGD＝∠PGC＝60°、∠1＝∠2＝30°，再通过解含30度角的直角三角形即可求出点P的坐标；

（3）延长GE交y轴于点M1及延长GP与AB的延长线交于点M2，通过全等三角形的性质及等边三角形的性质可得出点M1及点M2为所求的点，再结合点A、点G的坐标即可求出点M的坐标．

【解析】
(1)在Rt△AOG和Rt△ADG中，，

∴Rt△AOG≌Rt△ADG(HL)，

∴∠1＝∠DAG．

同理，可证Rt△ABP≌Rt△ADP，

∴∠BAP＝∠DAP．

∵∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP＝90°，

∴2∠DAG+2∠DAP＝90°，

∴∠PAG＝∠DAG+∠DAP＝45°．

(2)∵Rt△AOG≌Rt△ADG，

∴∠AGO＝∠AGD．

∵∠1+∠AGO＝90°，∠2+∠PGC＝90°，∠1＝∠2，

∴∠AGO＝∠AGD＝∠PGC．

又∵∠AGO+∠AGD+∠PGC＝180°，

∴∠AGO＝∠AGD＝∠PGC＝60°，

∴∠1＝∠2＝30°．

在Rt△AOG中，AO＝3，AG＝2OG，AG2＝AO2+OG2，

∴OG＝，

∴CG＝3﹣．

在Rt△PCG中，PG＝2CG＝2(3﹣)，CG＝3﹣，

∴PC＝＝3﹣3，

∴点P的坐标为(3，3﹣3)．

(3)存在两个M点，如图所示．

①延长GE交y轴于点M1，∵∠AGO＝∠PGC，∠PGC＝∠M1GO，

∴∠AGO＝∠M1GO．

在△AOG和△M1OG中，，

∴AG＝M1G，

∴△AGM1为等腰三角形．

∵A(0，3)，

∴点M1的坐标为(0，﹣3)；

②延长GP与AB的延长线交于点M2，作GF⊥AB于点F．

∵∠M2AG＝∠AGM2＝60°，

∴△AGM2为等边三角形，

∴GF垂直平分线AM2．

∵A(0，3)，G(，0)，

∴AF＝M2F＝，

∴点M2的坐标为(2，3)．

综上所述：点M的坐标为(0，﹣3)或(2，3)．