Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，点D，E分别在AC，AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，AE=6，cosA=.

(1)求CD的长；

(2)求tan∠DBC的值.

Answer

（1）CD=8；（2）tan∠DBC=.

【解析】

（1）由DE⊥AB，AE=6，cosA=，可求出AD的长，根据勾股定理可求出DE的长，由角平分线的性质可得DC=DE=8；

（2）由AD=10，DC=8，得AC=AD+DC=18．由∠A=∠A，∠AED=∠ACB，可知△ADE∽△ABC，由相似三角形边长的比可求出BC的长，根据三角函数的定义可求出tan∠DBC=．

【解析】
(1)在Rt△ADE中，因为AE=6，cosA=，所以AD==10，

由勾股定理，得==8.

因为DE⊥AB，DC⊥BC，

所以由角平分线的性质，得CD=DE=8.

(2)由（1）AD=10，DC=8，得：AC=AD+DC=18,

在△ADE与△ABC，∠A=∠A，∠AED=∠ACB，

∴△ADE∽△ABC得：即，

得：.