Question

如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD的一点，点E在AD的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于点F．

（1）求证：PC＝PE；

（2）若PD＝DE，求证：BP＝BC；

（3）如图2把正方形ABCD改为菱形ABCD，其它条件不变，当∠ABC＝120°时，连接CE，∠BAP与∠DCE有何数量关系？证明你的结论．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）∠BAP＝∠DCE，证明见解析

【解析】

（1）欲证明PC＝PE，只要证明△ADP≌△CDP即可．

（2）只要证明∠BPC＝∠BCP即可．

（3）结论：∠BAP＝∠DCE，只要证明△PCE是等边三角形即可解决问题．

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝CD，∠ADP＝∠CDP，

在△ADP和△CDP中，

，

∴△ADP≌△CDP

∴PA＝PC，

∵PA＝PE，

∴PC＝PE．

（2）证明：四边形ABCD为正方形，

∴∠ADC＝∠CDE＝90°，

∴∠E+∠DFE＝90°，

∵PA＝PE，

∴∠PAD＝∠E，

由（1）知△ADP≌△CDP，

∴∠PAD＝∠PCD，

∴∠PCD＝∠E，∵∠PFC＝∠DFE，

∴∠PCD+∠PFC＝∠E+∠DFE＝90°，

∴∠CPE＝90°，

∴∠BPC+∠DPE＝90°，

∵PD＝DE，

∴∠DPE＝∠E，

∴∠DPE＝∠PCD，

∵∠BCP+∠PCD＝90°，

∴∠BPC＝∠BCP，

∴BP＝BC．

（3）∠BAP＝∠DCE，

∵四边形ABCD是菱形，BD是对角线，

∴AB＝BC，∠ABP＝∠PBC，∠BAD＝∠BCD，

在△ABP和△CBP中，

，，

∴△ABP≌△CBP，

∴PA＝PC，∠BAP＝∠BCP，

∴∠PAD＝∠PCD

∵PA＝PE，

∴PC＝PE，∠PAE＝∠PEA，

∴∠PEA＝∠PCD，

∵∠EFC＝∠CPE+∠PCD＝∠CDE+∠PEA，

∴∠CPE＝∠CDE，

∵四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，

∴∠BCD＝60°，∠ADC＝120°，

∴∠CDE＝60°，

∴∠CPE＝60°，

∴△PCE是等边三角形，

∴∠PCE＝60°，

∴∠BCP＝∠DCE，

∴∠BAP＝∠DCE．