Question

如图，△ABC和△EBD中，∠ABC＝∠DBE＝90°，AB＝CB，BE＝BD，连接AE，CD，AE与CD交于点M，AE与BC交于点N．

（1）求证：AE＝CD；

（2）求证：AE⊥CD；

（3）连接BM，有以下两个结论：①BM平分∠CBE；②MB平分∠AMD．其中正确的有　   　（请写序号，少选、错选均不得分）．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）②.

【解析】

（1）欲证明AE=CD，只要证明△ABE≌△CBD；

（2）由△ABE≌△CBD，推出BAE=∠BCD，由∠NMC=180°-∠BCD-∠CNM，∠ABC=180°-∠BAE-∠ANB，又∠CNM=∠ABC，∠ABC=90°，可得∠NMC=90°；

（3）结论：②；作BK⊥AE于K，BJ⊥CD于J．理由角平分线的判定定理证明即可.

（1）证明：∵∠ABC=∠DBE，

∴∠ABC+∠CBE=∠DBE+∠CBE，

即∠ABE=∠CBD，

在△ABE和△CBD中，

，

∴△ABE≌△CBD，

∴AE=CD．

（2）∵△ABE≌△CBD，

∴∠BAE=∠BCD，

∵∠NMC=180°-∠BCD-∠CNM，∠ABC=180°-∠BAE-∠ANB，

又∠CNM=∠ABC，

∵∠ABC=90°，

∴∠NMC=90°，

∴AE⊥CD．

（3）结论：②

理由：作BK⊥AE于K，BJ⊥CD于J．

∵△ABE≌△CBD，

∴AE=CD，S△ABE=S△CDB，

∴•AE•BK=•CD•BJ，

∴BK=BJ，∵作BK⊥AE于K，BJ⊥CD于J，

∴BM平分∠AMD．

不妨设①成立，则△ABM≌△DBM，则AB=BD，显然可不能，故①错误．

故答案为②．